Программа экзамена
по курсу «Современная геометрия»
для студентов 2 курса магистратуры
(осенний семестр 2010/2011года)

I. Геометрические объекты на многообразиях
1.	Понятия топологического, гладкого многообразия. Атлас, функции перехода.
2.	Примеры многообразий: матричные группы, конфигурационные пространства. 
3.	Проективные пространства. Однородные координаты.
4.	Отображения многообразий. Гладкие отображения. Диффеоморфизмы. 
5.	Гладкие кривые на многообразиях. Касательные векторы. Касательные простран-ства.
6.	Касательные расслоения гладких многообразий. Векторные поля.
7.	Определение и примеры тензоров на линейных пространствах.
8.	Основные алгебраические операции над тензорами.
9.	Симметричные тензоры. Операция симметрирования тензоров.
10.	Антисимметричные тензоры. Операция альтернирования тензоров.
11.	Тензорные расслоения и тензорные поля на многообразиях.
12.	Дифференциальные формы. Дифференциал скалярного поля, градиент.
13.	Проблема определения градиента тензорного поля. Гессиан, его трансформацион-ные свойства.
14.	Объект связности. Ковариантное дифференцирование, его свойства.
15.	 Пространство аффинной связности. Параллельный перенос. Тензор кривизны.
16.	Риманово многообразие. Связность, согласованная с метрикой. Символы Кристоф-феля.
17.	Инвариантность скалярного произведения в римановом пространстве при парал-лельном переносе.
18.	 Тензор Римана его свойства. Тензор Риччи, скалярная кривизна. 
19.	Геодезические. Уравнения геодезических.
20.	Определение и примеры внешних форм на линейных пространствах. Общий вид внешней формы в координатах.
21.	 Внешнее произведение, его свойства.
22.	Пространства внешних форм. Базисы. Разложение внешней формы по базису.
23.	Внешние дифференциальные формы. Представление в координатах.
24.	Внешний дифференциал, его свойства.
25.	Замкнутые и точные формы. Группы когомологий.
26.	Интеграл II рода от внешней формы на многообразии.
27.	Интеграл II рода от внешней формы по подмногообразию.
28.	Ориентация гладких многообразий. Многообразия с краем. Формула Стокса.
29.	Интеграл I рода на римановом многообразии.

         Составил доцент _________________ М. А. Паринов

17.11.10