|
|
Авторы: Яцкин Н.И.
Оглавление
- Предисловие
- Системы линейных уравнений и алгебра матриц
- Системы линейных уравнений и их решения. Матрицы и действия над ними
- Развернутая запись системы линейных уравнений
- Матрицы
- Матрицы-столбцы (арифметические векторы)
- Матричная запись для систем линейных уравнений. Множство решений систем линейных уравнений
- Однородные системы линейных уравнений
- Законы матричной алгебры
- Аксиомы поля
- Алгебраическая системы матриц. Операция транспонирования
- Законы для алгебраических операций над матрицами
- Свойства решений систем линейных уравнений
- Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- Линейные подпространства пространства Rn
- Подмножества решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Понятие о методе Гаусса
- Равносильные системы линейных уравнений
- Элементарные преобразования систем линейных уравнений
- Расширенная матрица систем линейных уравнений. Матричное выражение элементарных преобразований над системами линейных уравнений
- Идея метода Жордана-Гаусса (на примере)
- Метод Жордана-Гаусса для матриц
- Матрицы ступенчатого вида, вида Жордана-Гаусса, модифицированного вида Жордана-Гаусса, скелетного вида
- Теорема Жордана-Гаусса для матриц
- Метод Жордана-Гаусса для систем линейных уравнений
- Теорема Жордана-Гаусса для систем линейных уравнений
- Случай однородной системы линейных уравнений
- Случай квадратной системы линейных уравнений. Альтернатива Фредгольма
- Некоторые типовые задачи: системы линейных уравнений с параметром, линейные матричные уравнений
- Системы линейных уравнений с параметром
- Линейные матричные уравнений
- Арифметические линейные пространства и их подпространства. Базисф и размерности
- Системы векторов в пространстве Rn и их линейные оболочки
- Конечные системы арифметических векторов и соответствующие матрицы
- Линейная оболочка конечной системы векторов
- Критерий принадлежности вектора линейной оболочке системы векторов
- Примеры линейных оболочек
- Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- Понятие линейно зависимой (линейно независимой) системы векторов
- Критерий линейной зависимости (линейной независимости) системы векторов
- Свойства линейно зависимых (линейно независимых) систем векторов
- Примеры линейно независимых систем векторов
- Базисы в линейных подпространствах пространства Rn
- Понятие базиса в линейном подпространстве арифметического линейного пространства
- Свойство единственности для разложения по базису
- Теорема существования базиса
- Свойство продолжения базисов
- Равномощность базисов в подпространстве. Понятие размерности подпространства. Ступенчатый ранг матрицы
- Теорема о равномощности всех базисов в данном подпространстве
- Понятие размерности для линейного подпространства в пространстве Rn
- Размерность подпространства решений однородной системы линейных уравнений
- Ступенчатый ранг матрицы
- Столбцовый и строчный ранги матрицы
- Ранг системы векторов и его свойства
- Столбцовый и строчный ранги матрицы
- Инвариантность столбцового (строчного) ранга при элементарных преобразованиях над строками (столбцами)
- Первая теорема о ранге матрицы
- Ранг матрицы и исследование системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли)
- Алгоритмы построения базисов и вычисления размерностей и рангов
- Два способа задания линейных подпространств в пространстве Rn
- Базис и размерность для нуль-пространства матрицы
- Базис и размерность для линейной оболочки столбцов матрицы
- Вычисление ранга матрицы, зависящей от параметра
- Решения задач с арифметическими векторами средствами системы Maple
- Обратимые квадратные матрицы
- Кольцо квадратных матриц заданного размера
- Группа обратимых квадратных матриц
- Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями
- Обратимость элементарных матриц. Выражение с помощью элементарных матриц приводимости прямоугольной матрицы к скелетному виду
- Невырожденные матрицы. Первая теорема об условиях обратимости
- Алгоритм Жордана-Гаусса вычисления обратной матрицы
- Линейные операторы в арифметических линейных пространствах
- Линейные отображения арифметических линейных пространств и алгебраические действия над ними
- Матрица линейного оператора (относительно естественных базисов в арифметических линейных пространствах)
- Теорема об изоморфизме для алгебраической системы линейных операторов в арифметических линейных пространствах и алгебраической системы прямоугольных матриц
- Закон для алгебраических действий над линейными операторами
- Линейные операторы в одном пространстве. Обратимые линейные операторы и обратимые матрицы
- Линейные эпиморфизмы и линейные мономорфизмы. Равносильность мономорфности и эпиморфности для эндоморфизмов
- Теория перестановок
- Перестановки и алгебраические действия над ними
- Биекции конечного множества
- Умножение перестановок
- Тождественная (единичная) перестановка
- Обратная перестановка
- Группа перестановок
- Область действия перестановки. Независимые перестановки
- Коммутирующие перестановки
- Отображения левого (правого) сдвига и обращения на группе перестановок
- Циклические перестановки. Разложение перестановки в произведение независимых циклов
- Циклы и частичные циклы
- Теорема о разложении перестановки на независимые циклы
- Декремент перестановки
- Степени перестановки. Порядок перестановки
- Целые степени перестановки и их свойства
- Порядок перестановки
- Степени и порядок для циклической перестановки
- Вычисление порядка перестановки с помощью ее разложения на независимые циклы
- Разложение перестановки в произведение транспозиций
- Разложение циклической перестановки в произведение транспозиций
- Разложение произвольной перестановки в произведение транспозиций
- Коммутационные соотношения для транспозиций
- Теорема о разложениях перестановки на транспозиции
- Знак и четности перестановки
- Знак перестановки
- Свойства знака
- Четность перестановки. Подгруппа четных перестановок
- Число инверсий в перестановке. Второй способ определения знака перестановки
- Инверсии в перестановке
- Второй способ определения знака перестановки
- Вычисления с перестановками в системе Maple
- Форматы задания перестановок
- Умножения перестановок в пакете group
- Обращение перестановок в пакете group
- Вычисление порядка перестановки
- Вычисление знака перестановки
- Теория определителей
- Определение определителя квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы
- Определение определителя
- Определители малых порядков
- Определитель треугольной матрицы
- Определитель транспонированной матрицы
- Определитель квадратной матрицы как полилинейная и антисимметрическая функция ее столбцов (строк)
- Функции от векторов-столбцов (векторов-строк) квадратной матрицы
- Полилинейность и антисимметричность функции A->det(A)
- Следствия из свойств полилинейности и антисимметричности определителя
- Метод Гаусса вычисления определителей
- Вычисление определителя с помощью разложения по столбцу (строке)
- Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы
- Теорема Лапласа о вычислении определителя разложением по строке (столбцу)
- Еще одно свойство алгебраических дополнений
- Индуктивный алгоритм вычисления определителя
- Описание всех полилинейных и антисимметрических функций от столбцов (строк) квадратной матрицы
- Теорема о полилинейных и антисимметрических функциях от столбцов (строк) квадратичной матрицы
- Аксиоматический подход к определению определителя
- Определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель произведения матриц
- Определитель блочно-треугольной матрицы
- Мультипликативное свойство определителя
- Присоединенная матрица. Выражение обратной матрицы через присоединенную
- Определение и основное свойство присоединенной матрицы
- Неособые матрицы. Вторая теорема об условиях обратимости матрицы
- Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной
- Решение квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера
- Решение квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- Решение квадратных систем линейных уравнений по формулам Крамера
- Минорный ранг матрицы. Вторая теорема о ранге матрицы
- Миноры матрицы
- Минорный ранг матрицы
- Вторая теорема о ранге матрицы
- Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы
- Рекуррентности и определители
- Понятие о рекуррентностях
- Линейные однородные рекуррентности второго порядка
- Последовательность Фибоначчи
- Определители некоторых трехдиагональных матриц
- Определитель Вандермонда
- Поле комплексных чисел
- Векторная модель поля комплексных чисел
- Интуитивное представление о комплексных числах. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами (случай отрицательного дискриминанта)
- Алгебраические действия над комплексными числами
- Комплексные числа как двумерные действительные векторы
- Матричная модель для поля комплексных чисел
- Вычисления с комплексными числами в алгебраической форме
- Комплексные числа в тригонометрической форме
- Геометрическое представление комплексного числа. Модуль, аргумент и тригонометрическая форма комплексного числа
- Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра
- Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме
- Корни из единицы. Первообразные корни
- Комплексные корни из единицы и их свойства
- Первообразные (примитивные) корни из единицы
- Использование корней из единицы при вычислении корней из других комплексных чисел
- Показательная функция комплексного аргумента. Показательная форма комплексного числа
- Основные понятия математического анализа функций комплексного переменного
- Показательная функция (экспонента) комплексного переменного
- Формулы Эйлера
- Показательная форма комплексного числа
- Натуральный логарифм комплексного числа
- Основная теорема алгебры
- Корни многочленов (с комплексными коэффициентами)
- Основная теорема алгебры (формулировка, идеи и этапы доказательства)
- Основная теорема алгебры (подробное доказательство)
- Алгебра многочленов
- Векторная модель кольца многочленов (над полем)
- Алгебраическое определение многочлена над полем
- Линейное пространство многочленов
- Кольцо многочленов
- Группа обратимых элементов кольца многочленов
- Отношение ассоциативности в коммутативном кольце. Ассоциированные (пропорциональные) многочлены. Нормализованные многочлены
- Целостные коммутативные кольца. Целостность кольца многочленов
- Деление с остатком и отношение делимости в кольце многочленов (над полем)
- Деление с остатком в кольце многочленов
- Отношение делимости в целостном кольце. Делимость (нацело) для многочленов
- Алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя в кольце многочленов над полем
- Понятие наибольшего общего делителя в целостном кольце. Условие Безу
- Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце целых чисел
- Существование НОД и алгоритм Евклида для его отыскания в кольце многочленов над полем
- Отыскание линейного представления для НОД в кольце многочленов методом неопределенных коэффициентов
- Взаимно простые элементы в целостном кольце (с условием Безу)
- Взаимно простые многочлены
- Наименьшее общее кратное. Связь НОК и НОД
- Понятие о евклидовых кольцах
- Многочлены и полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу
- Полиномиальные функции. Равенство многочленов и равенство полиномиальных функций
- Корни многочленов и теорема Безу
- Оценка количества (различных) корней многочлена
- Многочлены и полиномиальные функции над бесконечным полем
- Кратность корня. Оценка суммы кратностей корней. Алгебраически замкнутые поля. Разложимость многочленов на линейные множители. Теорема Виета
- Понятие кратности корня многочлена
- Оценка суммы кратностей корней многочлена
- Алгебраически замкнутые поля
- Разложение многочлена над алгебраически замкнутым полем на линейные множители
- Вычисление корней многочленов и разложение многочленов на множители средствами системы Maple
- Теорема Виета
- Схема Горнера
- Схема Горнера для вычисления значений многочленов
- Разложение многочлена по степеням x-c (формула Тейлора)
- Определение кратности корня многочлена с помощью схемы Горнера
- Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами
- Многочлены с рациональными коэффициентами и многочлены с целыми коэффициентами
- Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- Алгоритм отыскания всех рациональных корней для многочлена с целыми коэффициентами
- Многочлены с действительными коэффициентами и их разложение на линейные и квадратичные множители
- Сопряженные многочлены для многочленов с комплексными коэффициентами
- Комплексные корни для многочленов с действительными коэффициентами
- Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители
- Примеры разложения многочленов над полем действительных чисел
- Неразложимые элементы в целостном кольце. Простые элементы. Неприводимые многочлены
- Понятие неразложимого элемента в целостном кольце
- Понятие простого элемента в целостном кольце
- Канонические неразложимые (простые) элементы
- Неприводимые многочлены
- Неприводимые многочлены над алгебраически замкнутыми полями и над полем действительных чисел
- Факториальные кольца. Факториальность кольца целых чисел (основная теорема арифметики) и факториальность кольца многочленов над полем
- Определение факториального кольца
- Свойства факториальных колец
- Достаточные условия факториальности кольца. Факториальность евклидовых колец
- Основная теорема арифметики
- Факториальность кольца многочленов над полем
- Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Неприводимые многочлены над полем Q и над кольцом Z
- Содержание многочлена над факториальным кольцом. Примитивные многочлены
- Неразложимые элементы в кольце многочленов над факториальным кольцом
- Лемма Гаусса
- Поле частных целостного кольца
- Сохранение неприводимости многочленов над факториальным кольцом при переходе к полю частных
- Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом
- Признак Эйзенштейна неприводимости многочлена над факториальным кольцом
- Дифференцирование в кольце многочленов. Отделение кратных множителей
- Понятие характеристики поля
- Понятие (формальной) производной от многочлена
- Высшие производные и формула Тейлора для многочленов
- Кратность корня многочлена и значения производных
- Уменьшение кратности неприводимого множителя многочлена при дифференцировании
- Отделение кратных неприводимых множителей (кратных корней)
- Первоначальные понятия теории многочленов от нескольких переменных
- Мультииндексы и их лексикографическое упорядочение
- Многочлены от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение одночленов
- Лемма о высшем члене произведения многочленов
- Однородные многочлены (формы)
- Композиции многочленов (подстановка многочленов в многочлен)
- Симметричные многочлены
- Определение симметрического многочлена
- Лемма о высшем члене симметрического многочлена
- Моногенные симметрические многочлены
- Основная теорема о симметрических многочленах
- Примеры выражения симметрических многочленов через элементарные симметрические
- Значения симметрических многочленов от корней многочлена
- Дискриминант многочлена (от одной переменной)
- Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие
- Уравнения малых степеней (над полем C)
- Метод Ферро-Тартальи-Кардано решения уравнений третьей степени
- Метод Феррари решения уравнений четвертой степени
- Приложение 1. Рисунки к главе 5
- Приложение 2. Таблицы к главе 6
- Список рекомендуемой литературы
|
