|
|
Авторы: Яцкин Н.И.
Оглавление
- Предисловие
- Линейные пространства. Базисы и размерности
- Аксиомы линейного пространства над полем. Примеры линейных пространств. Линыйные подпространства. Линейные отображения
- Аксиомы поля
- Аксиомы линейного пространства
- Арифметические линейные пространства
- Другие примеры конкретных линейных пространств
- Линейные подпространства
- Линейные отображения
- Пример линейного пространства над полем F2
- Системы векторов в линейных пространсвах и их линейные оболочки. Порождающие системы векторов. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства
- Системы векторов в линейном пространстве и их линейные оболочки
- Линейные оболочки подмножеств в линейных пространствах
- Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства
- Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- Понятие линейно зависимой (линейно независимой) системы векторов
- Свойство единственности разложения вектора по линейно независимой системе векторов
- Понятие линейной зависимости (независимости) для подмножеств в линейном пространстве
- Базисы в линейных пространствах; четыре способа характеризации; теорема существования
- Определение базиса в линейном пространстве
- Четыре способа характеризации базисов
- Теорема существования базиса для конечномерного линейного пространства
- Алгебраические базисы в произволных линейных пространствах (базисы Гамеля)
- Понятие о топологических базисах
- Равномощность базисов. Размерность линейного пространства. Продолжение базисов
- Оценка количества векторов в линейно независимой системе векторов
- Характеризация к.л.п. в терминалах линейно независимых с.в. Конечномерность подпространства в к.л.п.
- Равномощность всех базисов и понятие размерности для к.л.п.
- Продолжение базисов
- Свойство строгой монотонности размерности
- Основная теорема о линейных отображениях. Теорема об изоморфизме. Координатный изоморфизм
- Основная теорема о линейных отображениях конечномерных линейных пространствах
- Свойства линейных изоморфизмов
- Теорема об изоморфизме для конечномерного линейного пространства
- Координатный изоморфизм конечномерного линейного пространства на арифметическое линейное пространство
- Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса
- Матрица перехода от одного базиса в конечномерном линейном пространстве к другому. Свойства матрица перехода
- Изменение координатного столбца вектора при замене базиса
- Задачи на вычисление матриц перехода и пересчет координатных столбцов при замене базисов
- Применение системы Maple для решения задач, связанных с заменой базисов
- Сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана
- Линейные подпространства в к.л.п. и действия над ними
- Сумма и пересечение конечномерных линейных подпространства. Формула Грассмана
- Прямые суммы и прямые дополнения
- Внутренняя прямая сумма линейных подпространств. Критерий прямизны
- Прямые дополнения к линейному подпространству
- Полные прямые суммы. Операторы вложения и проектирования
- Внешняя прямая сумма линейных пространств
- Алгоритмы построения базисов в линейных подпространствах конечномерных линейных пространств
- Два способа задания линейных подпространств и алгоритмы построения базисов в них
- Алгоритм продолжения базисов
- Алгоритмы построения базисов в сумме и пересечении линейных подпространств
- Примеры решения задач на построение базисов в линейных подпространствах
- Типовой расчет по теме "Базисы в подпространствах"
- Особые случаи расположения пространств ТР1
- Пакет Maple-процедур для решения ТР1
- Линейные отображения конечномерных линейных пространств
- Алгебраические действия над линейными отображениями. Матрица линейного отображения
- Алгебраические действия над линейными отображениями
- Матрица линейного отображения. Изоморфизмы между линейными пространствами линейных операторов и матриц
- Матрица для композиции линейных отображений. Теорема об изоморфизме для алгебраических систем линейных опереторов и матриц
- Арифметизация ("оцифровка") линейных операторов
- Примеры вычисления матриц линейных отображений
- Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Эквивалентные матрица. Подобные матрицы
- Замена базисов и преобразование матрица линейного отображения
- Изменение "оцифровки" для линейного оператора при замене базисов
- Эквивалентные матрицы
- Примеры пересчета матриц линейных отображений
- Линейные эндоморфизмы и их матрицы
- Подобные квадратные матрицы
- Примеры пересчета матриц линейных эндоморфизмов
- Оператор разностного дифференцирования
- Определитель и след для линейного эндоморфизма
- Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения
- Отображения множеств, образы и прообразы подмножеств
- Образы и прообразы линейных подпространств при линейных отображениях
- Алгоритмы построения базисов в ядре и образе линейного отображения
- Теоремы о линейных гомоморфизмах
- Первая теорема о линейных гомоморфизмах
- Вторая теорема о линейных гомоморфизмах
- Критерий эпи-(моно-, изо-)морфности
- Критерий обратимости (необратимости) линейных эндоморфизмов
- Спектральная теория линейных эндоморфизмов в конечномерных линейных пространствах
- Собственные значения (спектр) и собственные подпростраства для линейного эндоморфизма
- Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
- Примеры отыскания спектра и собственных подпространств
- Характеристический многочлен и характеристические корни для линейного эндоморфизма
- Характеристическая матрица и характеристический многочлен
- Коэффициенты характеристического многочлена
- Корни характеристического многочлена
- Алгебраические кратности собственных значений
- Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
- Арифметизация собственных подпространств
- Геометрические кратности собственных значений
- Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для линейного эндоморфизма
- Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах
- Свойства собственных подпространств
- Подпространства, инвариантные относительно линейного эндоморфизма
- Инвариантность собственных подпространств
- Независимомть в совокупности собственных подпространств линейного эндоморфизма
- Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы
- Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и их матрицы
- Полные прямые суммы и фильтрации
- Матрица линейного эндоморфизма, действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение
- Умножение блочных матриц
- Блочная структура матрицы линейного эндоморфизма в случае инвариантности фильтрации
- Диагонализируемые линейные эндоморфизмы
- Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов
- Диагонализируемость на инвариантном подпространстве
- Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма
- Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц
- Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром
- Примеры недиагонализируемых линейных эндоморфизмов
- Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость
- Свойства характеристического многочлена
- Характеристический многочлен для сужения линейного эндоморфизма на его инвариантное подпространство
- Неравенства для геометрических и алгебраических кратностей собственных значений
- Собственная сумма и блочная структура для линейного эндоморфизма
- Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги. Теорема о стабилизации
- Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги для линейных эндоморфизмов
- Теорема о стабилизации для линейных эндоморфизмов
- Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимная дополнительность
- Теорема о стабилизации в случае нильпотентного линейного эндоморфизма
- Приращения итерированных дефектов. Теорема Фробениуса. Вторые приращения дефектов
- Приращения итерированных дефектов
- Теорема Фробениуса
- Вторые приращения итерированных дефектов
- Жорданов базис в стабильном ядре линейного эндоморфизма. Малая теорема Жордана
- Понятие жорданова базиса для линейного эндоморфизма
- Базисы в стабильном ядре линейного эндоморфизма, организованные в виде столбчатых диаграмм
- Малая теорема Жордана
- Стабильный дефект как алгебраическая кратность нулевого собственного значения
- Жорданов базис для нильпотентного линейного эндоморфизма
- Алгоритм построения жорданова базиса в стабильном ядре линейного эндоморфизма
- Корневые подпространства для линейного эндоморфизма
- Корневые подпространства и корневые векторы
- Инвариантность корневых подпространств
- Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у многочлена
- Размерность корневого подпространства
- Жорданов базис в корневом подпространстве линейного эндоморфизма
- Алгоритм построения Жорданова базиса в корневом подпространстве
- Корневая сумма. Большая теорема Жордана
- Независимость в совокупности корневых подпространств для линейных эндоморфизмов
- Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана
- Жорданова нормальная форма и критерий подобия квадратичных матриц
- Комплексификация и овеществление. Обобщенная жорданова нормальная форма для действительных матриц
- Алгоритм построения жорданова базиса для линейного эндоморфизма
- Обзор ранее изученных алгоритмов спектральной теории линейного эндоморфизма
- Алгоритм построения (частично) жорданова базиса для линейного эндоморфизма
- Типовой расчет по теме "Жорданов базис для линейного эндоморфизма"
- Особые случаи в задаче о построении жордановых базисов
- Отыскание жордановой нормальной формы матрицы с помощью системы Maple
- "Процедура-сценарий" jrd для решения задач ТР2
- Многочлены от линейных эндоморфизмов и квадратных матриц. Аннулирующие многочлены
- Значение многочлена от линейного эндоморфизма (от квадратной матрицы)
- Аннулирующие многочлены для линейных эндоморфизмов и квадратных матриц
- Теорема Гамильтона-Кэли
- Функции от матриц
- Каноническая форма Смита для полиномиальной матрицы
- Матрицы над кольцом многочленов и алгебраические действия над ними
- Каноническая форма Смита и эквивалентность полиномиальных матриц
- Квадратные матрицы над кольцом многочленов и их представление в виде многочленов с матричными коэффициентами
- Подобие квадратных матриц (над полем) и эквивалентность их характеристических матриц (над кольцом многочленов)
- Инвариантные многочлены и элементарные делители для квадратных матриц над полем. Критери подобия
- Второй способ приведения квадратной матрицы к жордановой нормальной форме
- Линейные, билинейные и квадратичные формы на конечномерных линейных пространствах
- Линейные формы на конечномерном линейном пространстве. Двойственное линейное пространство
- Понятие линейной формы
- Матрица-строка и координатное выражение для линейной формы
- Понятие двойственного (сопряженного) линейного пространства. Двойственный (сопряженный) базис
- Влияние замены базиса на линейные формы
- Теория двойственности
- Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм конечномерного линейного пространства на его второе двойственное
- Аннуляторы подмножеств и их свойства
- Аннуляторы линейных подпространств
- Соотношения двойственности
- Двойственный линейный оператор. Теорема Фредгольма
- Понятие двойственного линейного оператора
- Матрица двойственного оператора
- Теорема Фредгольма
- Неформальные рассуждения о природе двойственности
- Билинейные формы и их матрицы
- Понятие билинейной формы на линейном пространстве
- Матрица билинейной формы
- Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса. Конгруэнтные матрицы
- Ранг билинейной формы. Невырожденные билинейные формы
- Симметрические и антисимметрические билинейные формы
- Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные билинейные формы
- Симметрические билинейные и квадратичные формы. Формула поляризации
- Понятие квадратичной формы. Формула поляризации
- Матрица и координатная запись для квадратичной формы
- Диагонализирующие базисы для симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Диагонализация по Лагранжу симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Алгоритм Лагранжа диагонализации симметрических билинейных форм (квадратичных форм)
- Скелетный вид для симметрических билейных форм (квадратичных форм) над алгебраически замкнутым полем
- Диагонализация по Якоби симметрических билинейных (квадратичных) форм. Метод Грам-Шмидта
- Метод Якоби диагонализации симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Алгоритм Грама-Шмидта диагонализации симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Симметрические билинейные (квадратические) формы над полем действительных чисел. Сигнатура. Теорема инерции
- Нормальный вид для симметрических билинейных (квадратичных) форм над полем R
- Индексы инерции симметрических билинейных (квадратичных) форм над полем R. Теорема инерции
- Знакоопределенные и знакопеременные симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем R
- Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности симметрических билинейных (квадратических) форм
- Исследование функций на экстремум и квадратичные формы
- Примеры решения задач на исследование симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Типовой расчет по теме "Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм"
- Пакет Maple-процедур для решения ТР3
- Одновременная диагонализация двух симметрических билинейных (квадратичных) форм
- Конечномерное линейное пространство с фиксированной положительной симметрической билинейной формой; ортогональные и ортонормированные базисы
- Ортогональные матрицы
- Линейный изоморфизм между пространствами линейных эндоморфизмов и билинейных форм, определяемый с помощью невырожденной симметрической билинейной формы
- Самосопряженные линейные эндоморфизмы и их матрицы
- Спектральные свойства самосопряженных линейных эндоморфизмов
- Ортогональная диагонализируемость самосопряженного линейного эндоморфизма
- Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) симметрических билинейных форм в евклидовом пространстве
- Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы
- Список рекомендуемой литературы
- Список используемых сокращений
- Приложение 1. Коды Maple-процедур
- Приложение 2. Иллюстрации
- Приложение 3. Столбчатые диаграммы
- Приложение 4. Содержание [А1] - первой части курса
|
